柯西不等式高中公式（柯西不等式高中）

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1、【柯西不等式的简介】　　柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。　　柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。　　柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 【柯西不等式】　　 向量形式

2、　　|α·β| ≤ |α||β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。　　 一般形式

3、　 (a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2　≤ (a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。【柯西不等式的证明】　　 二维形式的证明　　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)　（a,b,c,d∈R)　　＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2　　＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2　　＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2　　≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。　　 一般形式的证明　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 　　证明：　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0　　构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0　　故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，　　移项得AC≥B，欲证不等式已得证。 柯西不等式的应用柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。

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