【三角函数半角公式是什么】在三角函数中，半角公式是用于计算一个角的一半角度的三角函数值的公式。这些公式常用于简化复杂的三角表达式、求解三角方程以及在数学和物理中的各种应用中。以下是常见的三角函数半角公式的总结。
一、半角公式概述
对于任意角α，其半角为α/2，以下公式可以用来计算sin(α/2)、cos(α/2)和tan(α/2)的值：
- 正弦（sin）的半角公式：
$$
\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}
$$
- 余弦（cos）的半角公式：
$$
\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}
$$
- 正切（tan）的半角公式：
$$
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}
$$
其中，符号“±”取决于α/2所在的象限。例如，在第一象限中取正号，在第二象限中也取正号，但在第三或第四象限时可能需要根据具体情况选择负号。
二、常见半角公式表格
| 公式名称 | 公式表达式 | 备注 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} $ | 由余弦的倍角公式推导而来 |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} $ | 同样由余弦的倍角公式推导而来 |
| 正切半角公式1 | $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} $ | 常用于简化三角表达式 |
| 正切半角公式2 | $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} $ | 适用于已知sinα和cosα的情况 |
| 正切半角公式3 | $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} $ | 与公式2等价，形式不同 |
三、使用注意事项
1. 符号问题：半角公式的正负号需根据α/2所在的象限来判断。
2. 适用范围：这些公式适用于所有实数α，但实际应用时需要注意角度单位（弧度或角度）。
3. 与其他公式的关系：半角公式通常与倍角公式、和差角公式结合使用，以解决更复杂的三角问题。
通过掌握这些半角公式，可以更灵活地处理涉及角度一半的三角函数问题，尤其在工程、物理和数学分析中具有广泛的应用价值。