新传媒网大家好，我是小新，我来为大家解答以上问题。待定系数法拆分分母，待定系数法分解因式很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
（以下过程均是在实数范围内分解因式）
解(1)x^5+x+1
因为原式是5次式
所以若原式可以因式分解，则一定可以分解为
一个2次式因式和一个3次因式，或者一个1次因式和一个4因式
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
由于原式最高次项是x^5，最低次项(常数项)是1，
所以可设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
（因为原式的最高次项一定等于两个因式的最高次项乘积，且原式最低次项也一定等于两个因式的最低次项乘积）
展开得：原式=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
由于原式的2、3、4次项的系数都是0，1次项系数是1
所以a,b,c必须同时满足以下四个方程：
a+c=0
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=1
如果此方程组无解，则说明原式不可因式分解。（从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，若等号恰好成立，则说明此该a,b,c的值是原方程组的解；若等号不成立，则说明该方程组无解）
但此题恰好有解，解得a=-1，b=0，c=1
所以原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
检验：分解是否彻底
因式x^2+x+1的判别式<0，故不能继续分解
对于因式x^3-x^2+1，也可以用待定系数法
设x^3-x^2+1=(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=-1
m+1=0
显然无解。所以x^3-x^2+1不能继续分解。
所以分解已经彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
所以：
a+1=0
a+b=0
b+c=0
c+1=1
次方程组无解
所以原式不能分解成一个1次因式和1个4次因式
综上所述，原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
(2)x^5+x^4+1
同上题理
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
方程组：
a+c=1
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=0
解该方程组的方法同上，即从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，恰好能使等号成立。所以最后解得a=0，b=-1，c=1
所以原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)
检验分解是否彻底”
因式x^2+x+1的判别式<0，故不能继续分解
对于因式x^3-x+1，
设其(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=0
m+1=-1
显然无解。所以x^3-x+1不能因式分解
所以分解已彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
方程组为：
a+1=1
a+b=0
b+c=0
c+1=0
该方程组无解，说明原式不可以分解为一个1次式因式和一个4次因式
综上所述，原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。
