【tanx的导数是啥】在微积分中，三角函数的导数是基础且重要的内容。其中，正切函数 $ \tan x $ 的导数是一个常见的问题。了解它的导数可以帮助我们更好地理解函数的变化率，并在求解相关问题时提供便利。
一、总结
$ \tan x $ 的导数是 $ \sec^2 x $。也就是说：
$$
\frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x
$$
这个结果可以通过基本的导数规则和三角恒等式推导得出。接下来我们将以表格的形式更清晰地展示这一结论，并对相关知识点进行简要说明。
二、导数表（tanx）
| 函数 | 导数 | 说明 |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ | 正切函数的导数为正割平方函数 |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ | 正割函数的导数为正割乘正切 |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ | 余切函数的导数为负的余割平方 |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数为负的余割乘余切 |
三、推导过程（简要）
我们知道：
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
$$
使用商数法则：
$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}
$$
根据恒等式 $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $，得到：
$$
\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x
$$
因此：
$$
\frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x
$$
四、小结
- $ \tan x $ 的导数是 $ \sec^2 x $
- 推导过程中用到了商数法则和三角恒等式
- 熟悉常见三角函数的导数有助于解决更复杂的微积分问题
如果你正在学习微积分或准备考试，掌握这些基础导数是非常有帮助的。