【高阶导数十个常用公式】在微积分中，高阶导数是函数的导数再求导的结果。对于一些常见的初等函数，其高阶导数存在一定的规律，掌握这些规律有助于提高计算效率和理解函数的变化趋势。以下是几个常用函数的高阶导数公式总结。
一、常见函数的高阶导数公式
| 函数 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 | n阶导数（n≥1） |
| $ y = x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ n(n-1)x^{n-2} $ | $ n(n-1)(n-2)x^{n-3} $ | $ \frac{n!}{(n - k)!}x^{n - k} $ （当 $ k \leq n $ 时） |
| $ y = e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ y = a^x $ | $ a^x \ln a $ | $ a^x (\ln a)^2 $ | $ a^x (\ln a)^3 $ | $ a^x (\ln a)^n $ |
| $ y = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $ |
| $ y = \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin x $ | $ \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $ |
| $ y = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ | $ \frac{2}{x^3} $ | $ (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} $ |
二、说明与注意事项
1. 多项式函数：如 $ y = x^n $，其高阶导数随着次数增加会逐渐变为零，当 $ n < k $ 时，$ y^{(k)} = 0 $。
2. 指数函数：如 $ y = e^x $ 或 $ y = a^x $，其任意阶导数仍为原函数或其倍数，具有“不变性”。
3. 三角函数：正弦和余弦函数的高阶导数具有周期性，可以通过旋转角度来表示。
4. 对数函数：如 $ y = \ln x $，其高阶导数形式较为固定，涉及阶乘和负号交替。
三、应用举例
1. 求 $ y = x^5 $ 的五阶导数：
$$
y^{(5)} = 5! = 120
$$
2. 求 $ y = \sin x $ 的四阶导数：
$$
y^{(4)} = \sin\left(x + \frac{4\pi}{2}\right) = \sin(x + 2\pi) = \sin x
$$
3. 求 $ y = \ln x $ 的三阶导数：
$$
y''' = (-1)^{3-1} \frac{(3-1)!}{x^3} = \frac{2}{x^3}
$$
通过掌握这些高阶导数的公式，可以更高效地进行数学分析和工程计算，尤其在物理、经济模型、信号处理等领域有广泛应用。