【如何由余子式求代数余子式】在行列式的计算中，余子式与代数余子式是两个重要的概念。虽然它们之间有密切的联系，但也有明显的区别。本文将从定义出发，总结如何由余子式求出代数余子式，并通过表格形式进行对比和归纳。
一、基本概念
1. 余子式（Minor）
在一个n阶行列式中，去掉第i行第j列后所得到的(n-1)阶行列式称为元素a_ij的余子式，记作M_ij。
2. 代数余子式（Cofactor）
代数余子式是余子式乘以(-1)^{i+j}，即：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
$$
因此，由余子式求代数余子式的关键在于确定符号，即根据元素所在位置(i,j)的奇偶性来决定是否乘以-1。
二、由余子式求代数余子式的步骤
1. 确定余子式M_ij的值
首先计算出对应位置的余子式M_ij。
2. 判断位置(i,j)的奇偶性
- 如果i + j为偶数，则符号为正（+1）。
- 如果i + j为奇数，则符号为负（-1）。
3. 乘以相应的符号
将M_ij乘以(-1)^{i+j}，即可得到代数余子式C_ij。
三、示例说明
假设有一个3×3矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
$$
我们想求元素a_{21}的代数余子式C_{21}。
1. 计算M_{21}：去掉第2行第1列后的余子式为：
$$
M_{21} = \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
= a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}
$$
2. 判断符号：i=2，j=1，i+j=3（奇数），所以符号为-1。
3. 得到代数余子式：
$$
C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -M_{21}
$$
四、总结与对比
| 项目 | 余子式（M_ij） | 代数余子式（C_ij） |
| 定义 | 去掉第i行第j列后的行列式 | M_ij × (-1)^{i+j} |
| 符号 | 无符号（默认为正） | 根据(i,j)的位置决定符号 |
| 应用 | 行列式展开的基础 | 用于行列式展开和逆矩阵计算 |
| 与原行列式关系 | 仅依赖于去掉某行某列后的部分 | 与原行列式中的元素位置有关 |
五、结语
由余子式求代数余子式是一个相对直接的过程，关键在于正确判断符号。理解这一过程有助于更深入地掌握行列式的性质及其应用，尤其在计算行列式展开、求逆矩阵等方面具有重要意义。掌握这一方法，可以提高解题效率并减少计算错误。